动力学模型
动力学模型
晾衣绳模型
等腰三角形、晾衣杆问题，特征为动滑轮通过刚性轻绳固定，有公式：
F=\dfrac{G}{2 \cos \theta}
特征；F 仅与 \theta 有关，上下移动绳子端点力不变，端点水平靠近拉力下降、远离拉力上升。
物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种。
弹簧突变
因为弹簧的弹力无法突变，因此我们：
受力分析初状态，得出弹簧弹力。
把弹簧弹力当做外力，重新受力分析。
沿绳方向速度、受力大小一定相等。
斜面模型
斜面模型「物体是否会下滑」，设斜面与水平面夹角为 \theta：
受力分析，得 G_x=mg \sin \theta，f=\mu mg \cos \theta。
若物体下滑：G_x>f \Rightarrow G_x/f>1 \Rightarrow \tan \theta/\mu>1 \Rightarrow \tan \theta>\mu。
同理，若物体静止不动，G_x\le f \Rightarrow \tan \theta\le\mu。
即，若 \tan \theta>\mu，物体会下滑。
同时也可以根据此探究动摩擦因数 \mu=\arctan\theta。
直角劈模型
注意物体的位置应该在惯性系中表示，否则应用牛顿定律会产生麻烦。
根据已知常量列出方程，例如绳长不变，绳子切面速度相同，以及对应的加速度关系。
典例是直角劈模型，有 \theta 角度的直角劈，一木块放在上面，则：
其中 V 和 A 为劈的速度和加速度，x 为木块相对参考系的水平位移，X 为木块相对参考系的水平位移，(h-y) 为木块滑下的竖直高度：
\begin{aligned} (x-X)=(h-y)\cot\theta\\ v_x-V=-v_y\cot\theta\\ a_x-A=-a_y\cot\theta \end{aligned}
上式从上到下，实为对方程两边做一次时间变化率，常数项忽略，常数系数不变。
注意：约束方程与作用力无关，各接触面有无摩擦不影响约束方程。
狭义连接体模型
整体法可求得加速度。
隔离法可求得压力／绳子拉力，也可以整体一部分物体。
如果绳子是弯的，那么直接两次隔离把力约掉算加速度。
可以得出，绳子拉力与斜面夹角、摩擦因数均无关：
T=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F
这个公式可以成为连接体的质量分配原则，其中 1 是绳子没有直接拉着的那个物体。
推广：如果两个物体两侧分别拉着（F_1 拉质量为 m_1 的物体，F_2 对于 m_2）：
T=\dfrac{F_1m_2+F_2m_1}{m_1+m_2}
即总是一个力乘上没有直接连接的物体。
等时圆模型
质点自半径为 R 的空心球（对于平面而言是圆环）的最高点由静止开始无摩擦地沿任一弦下滑至球面（或圆环），所需时间相等，且等于：
\sqrt{\dfrac{4R}{g}}
证明：
设下滑的弦与法线的夹角为 \beta，则弦长：
l=2R \cos \beta
沿弦方向加速度为：
a=g \cos \beta
列运动学方程：
\begin{aligned} l&=\dfrac{1}{2}at^2\\ 2R \cos \beta&=\dfrac{1}{2}(g \cos \beta)t^2 \end{aligned}
易得 t 与 \beta 无关，且：
t=\sqrt{\dfrac{4R}{g}}
经典例题：
一小球从角度为 \alpha 的斜面上某一点的上方 l 处沿某一直线无摩擦的滑下，问落到斜面上的最短时间。
由上面的结论，最佳下落线与法线的夹角 \theta=\alpha/2。
易知，该圆的直径（Q 为圆与斜面的切点，H 为最高点到斜面的垂足）：
2R=\dfrac{OQ}{ \cos \theta}=\dfrac{OH}{ \cos ^2\theta}=\dfrac{l \cos \alpha}{ \cos ^2(\alpha/2)}
则：
R=\dfrac{l \cos \alpha}{1+ \cos \alpha}
则最短时间：
t=\sqrt{\dfrac{4R}{g}}=2\sqrt{\dfrac{l \cos \alpha}{g(1+ \cos \alpha)}}
等时圆的构造：
设定一点为最高点或最低点即可，根据几何关系得到距离圆心的距离。
最速降线问题
在平面内，B 点在 A 右下，自 A 静止释放一个小球，运动到 B 点的最短时间。
伯努利（哥哥和弟弟分别）证明了最速降线是一条摆线。
摩擦力分配原理
在复杂的板块模型或多物体连接系统中，摩擦力并非简单地取最大值，而是根据受力平衡或加速度约束进行分配。
内摩擦与外摩擦：系统内部物体间的摩擦为内摩擦，系统与外界（如地面）的摩擦为外摩擦。
约束方程法：建立各物体的运动方程。若系统相对静止，则各物体加速度相等；若存在相对滑动，则滑动处的摩擦力为滑动摩擦力。
分配比例：对于多个接触面，摩擦力的分配遵循「先满足外约束，再调节内约束」的原则。当外力 F 增大到使某一接触面达到最大静摩擦 f_{max} 时，该处发生相对滑动。
例如，在三层叠加模型中，通过列出各层的牛顿第二定律方程组，可以求出不同接触面发生相对滑动的临界推力 F。
传送带和板块模型
例题 1：质量为 2\text{kg} 的物体沿光滑斜面下滑，斜面与水平面的夹角为 37^\circ，求木块的加速度。
列式：
\begin{cases} F_r&=ma\\ F_r&=G \sin 37^\circ\\ G&=mg\\ m&=2\text{kg} \end{cases}
解得：
\begin{cases} m&=2&\text{kg}\\ G&=20&\text{N}\\ F_r&=12&\text{N}\\ a&=6&\text{m/s}^2\\ \end{cases}
所以，加速度为 6\text{m/s}^2，方向沿斜面向下。
例题 2：质量为 2\text{kg} 的物体沿斜面下滑，斜面的摩擦因数为 0.2，斜面与水平面的夹角为 37^\circ，求木块的加速度。
列式：
\begin{cases} F_r&=ma\\ F_r&=G \sin 37^\circ-f\\ f&=\mu N\\ N&=G \cos 37^\circ\\ G&=mg\\ m&=2\text{kg} \end{cases}
解得：
\begin{cases} m&=2&\text{kg}\\ G&=20&\text{N}\\ N&=16&\text{N}\\ f&=3.2&\text{N}\\ F_r&=8.8&\text{N}\\ a&=4.4&\text{m/s}^2\\ \end{cases}
所以，加速度为 4.4\text{m/s}^2，方向沿斜面向下。
例题 3：质量为 2\text{kg} 的物体静止于水平面的 A 处，AB 间距 L=20\text{m}，如图：
\begin{matrix} \underline{\kern{1em}\Box\kern{7em}\Box\kern{1em}}\\[-0.8em] \cdot\kern{7.5em}\cdot\\[-0.4em] {\small{A}}\kern{7em}{\small{B}} \end{matrix}
现用大小为 30\text{N} 的力，沿水平方向拉物体，2\text{s} 后到达 B 处。
求物体与地面的摩擦因数 \mu。
解：
对物体 A 受力分析：
\begin{cases} F_r&=F-f\\ N&=G \end{cases}
展开：
\begin{cases} ma&=F-\mu N\\ N&=mg \end{cases}
得到方程组：
\begin{cases} x&=\dfrac{1}{2}at^2\\ ma&=F-\mu mg \end{cases}
代数，得：
\begin{cases} 20\text{m}&=\dfrac{1}{2}a\cdot(2\text{s})^2\\ 2\text{kg}\cdot a&=30\text{N}-\mu\cdot20\text{N} \end{cases}
解得：
\begin{cases} a&=10\text{m/s}^2\\ \mu&=0.5 \end{cases}
即 \mu=0.5。
传送带模型
加速度：
a=g \sin \theta\pm\mu g \cos \theta
表示重力下滑分量和滑动摩擦力的作用。
假设可以共速静止，比较 \tan \theta 和 \mu。
判断共速时的位与和传送带长度之间的关系。
善用 v-t 图像。
板块题型解析
类型一：相对位移求板长（无外力型）
思路：物块以初速度冲上木板，系统在内摩擦力作用下最终趋于共速（或一方停止）。
分析分段：共速前，物块减速，木板加速（若地面不光滑则需考虑地面摩擦）。
位移关系：物块相对于地面的位移 x_1 与木板相对于地面的位移 x_2 之差，即为物块在板上滑行的相对位移。若恰好滑到边缘，则 L = x_1 - x_2。
平均速度法：对于匀变速过程，x = \bar{v}t = \frac{v_0 + v_t}{2}t。
类型二：定外力型临界分析
关键：判断物体间是否发生相对滑动。
假设系统整体运动，求出整体加速度 a = \frac{F - f_{\text{地}}}{M + m}。
隔离不受直接外力的物体，求出其所需摩擦力 f_{\text{需}} = ma。
比较 f_{\text{需}} 与最大静摩擦力 f_{\text{max}}：
若 f_{\text{需}} \le f_{\text{max}}，假设成立，二者相对静止。
若 f_{\text{需}} > f_{\text{max}}，二者发生相对滑动，分别列牛顿第二定律方程求解。
类型三：变力求临界
当外力 F 随时间或位移变化时，系统可能经历「相对静止」到「相对滑动」的转变。临界点在于接触面的静摩擦力达到最大值 f = \mu N。
地面光滑：
木板有初速度。
木板无初速度。
地面不光滑：
木板有初速度。
木板无初速度。
详见课件内容。
叠加体相对静止
广义连接体，指不用绳子连接的连接体，常见的有用静摩擦力、刚体弹力提供的。
叠加体相对静止，可以看为是由摩擦力提供拉力的连接体模型，因此下面的步骤也非常相似。
整体法可求得加速度。
隔离法可求得摩擦力，也可以整体一部分物体。
可以得出，摩擦力与斜面夹角无关，与摩擦因数有关：
f=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F-\mu mg \cos \theta
若斜面是水平面（\theta=0），那么 \cos \theta=1：
f=\dfrac{m_1}{m_1+m_2}F-\mu mg
同样也类似质量分配原则，其中 1 是力没有直接作用在的那个物体。
叠加体相对滑动
找到不受外力的物体，即可能会发生相对滑动的物体，
隔离法，求出这个物体的最大加速度，
整体法，求出最大的外力大小。
形式一：拉着下面的 M 走，其上表面 \mu_1、下表面 \mu_2：
F=(m+M)(\mu_1+\mu_2+ \tan \theta)g\cdot \cos \theta
若斜面是水平面（\theta=0），那么 \cos \theta=1, \tan \theta=0：
F=(m+M)(\mu_1+\mu_2)g
形式二：拉着上面的 m 走，其下 M 上表面 \mu_1、下表面 \mu_2：
F=\dfrac{m}{M}(m+M)(\mu_1-\mu_2)g\cdot \cos \theta
若斜面是水平面（\theta=0），那么 \cos \theta=1：
F=\dfrac{m}{M}(m+M)(\mu_1-\mu_2)g
注意此形式下，需要上物体能拉动下物体，拉不动的话就更简单了。
启动模型
解题方法
对（物体），做（运动段），如图（受力分析），列（平衡／牛二）。
\begin{aligned} F_{\text{合}}=ma&=F-f\\ F&=\frac{P}{v} \end{aligned}
得出（一定要受力分析）：
\begin{aligned} F&=f+ma\\ ma&=\frac{P}{v}-f \end{aligned}
恒定功率启动
随着汽车的加速，
v 增大，P 不变，F 减小，F_r 减小；
m 不变，a 减小，v 变化放缓。
直至 F=f，汽车匀速运动。
即汽车加速到一定程度后，汽车将保持匀速运动。
恒定加速度启动
按照时间顺序：
a 不变，m 不变，f 不变，F 不变；
v 增大，P 增大，汽车持续增速；
汽车增速到一定程度后，P 无法继续增大：
此时 P 恒定，故进行恒定功率启动式的加速。
做题思路
对匀速运动状态分析：平衡 F=f；
对匀加速末状态分析：牛二 ma=P/v-f；
对加速阶段状态分析：牛二 ma=P/v-f。
F-1/v 图像
按照时间，从右往左，因为汽车速度增大，倒数减小。
牵引力为水平直线的：匀加速运动。
牵引力逐渐下降的：加速度逐渐减小。
牵引力端点位置：最终状态匀速直线运动。
做题方法：同上，一定要分析的是拐点和端点处的受力分析。