均值不等式
简单不等式
一般不等式
糖水不等式：
a>b>0,m>0\implies\dfrac{b+m}{a+m}>\dfrac{b}{a}
这个的实际意义是，溶质糖的质量分数，加糖会更大。这就要求质量分数必须小于 1。如果大于 1，及 b>a>0，上述不等式反向。
不等式加法：
a>b,c>d\implies a+c>b+d
不等式减法：
a>b,c<d\implies a-c>b-d
不等式联立：
\begin{cases} a_1<x+y<a_2\\ b_1<x-y<b_2 \end{cases}\implies\begin{cases} a_1+b_1<2x<a_2+b_2\\ a_1-b_1<2y<a_2-b_2 \end{cases}
等式的性质：
- a=a（自反性）
- a=b\Rightarrow b=a（对称性）
- a=b,b=c\Rightarrow a=c（传递性）
- a=b\Rightarrow a\pm c=b\pm c,ac=bc,\frac{a}{c}=\frac{b}{c}（c\neq 0）（替代性）
- 替代性：如果两个对象相等，那么在任何出现它们的位置，都可以用一个替代另一个，等式仍然成立。
不等式的性质：
- a>b\Rightarrow b<a（对称性）
- a>b,b>c\Rightarrow a>c（传递性）
- a>b\Rightarrow a\pm c>b\pm c
- a>b,c>0\Rightarrow ac>bc,c<0\Rightarrow ac<bc
- a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d（加法单调性）
- a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd（乘法单调性）
- a>b>0,n>0\Rightarrow a^n>b^n,n<0\Rightarrow a^n<b^n
常用技巧：
- 减法可以转化为加法：a-b=a+(-b)，而除法可以转化为乘法：\frac{a}{b}=a\times \frac{1}{b}。
- 比较两个正数 a,b>0 的常用方法：通过做差比较 a-b 与 0 的关系；通过做商比较 \frac{a}{b} 与 1 的关系。
根据三角形两边之和大于（如果是退化的三角形可取等）第三边，两边之差小于第三边：
||a|-|b||\le|a\pm b|\le|a|+|b|
这就是三角不等式。注意，用数量积小于等于长度积，是柯西不等式。
重要不等式：
a^2+b^2\ge2ab
当且仅当 a=b 成立。
例题：证明 a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca。
对 ab,bc,ca 列出重要不等式，各式相加即可得到。
高次不等式穿根法：
因式分解，做数轴标根。
偶数次不穿过数轴，结果抠点。
分式不等式分解因式后当做乘法（两边同乘分母的平方），扣去无意义的点。
绝对值不等式
如果对于任意 x 都有 |f(x)|<g(x)，则
-g(x)<f(x)<g(x)
对千绝对值不等式，更多的是分类讨论去掉绝对值，结论本身并不重要。
函数 f(x)=|x-m|+|x-n|(m<n) 的图像是以点 A(m, n-m)，B(n, n-m) 为折点的倒梯形；f(x) 在 (-\infty, m] 上单调递减，在 [n, +\infty) 上单调递增，在 [m,n] 上无单调性，此时 f(x) 恒等于其最小值 n-m；f(x) 在 \mathbb{R} 上无最大值，其对称轴为 x=\dfrac{m+n}{2}。
当 m > n 时，f(x) = |x-m| - |x-n| 的图像是以点 A(n, m-n)，B(m, n-m) 为折点的“Z 字形”；在 (-\infty, n] 上函数恒取得最大值 m-n，在 [m, +\infty) 上函数恒取得最小值 n-m；函数在 [n, m] 上递减，其对称中心为 \left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right)。
当 n > m 时，f(x) = |x-m| - |x-n| 的图像是以点 A(m, m-n)，B(n, n-m) 为折点的“反 Z 字形”；在 (-\infty, m] 上函数恒取得最小值 m-n，在 [n, +\infty) 上函数恒取得最大值 n-m；函数在 [m, n] 上递增，其对称中心为 \left(\dfrac{m+n}{2}, 0\right)。
a|x-m|+b|x-n|(m<n) 的图像是以 A(m, f(m))，B(n, f(n)) 为折点的折线。
- 当 a+b>0 时，两端向上无限延伸，故有最小值，最小值为 \min\{f(m), f(n)\}；
- 当 a+b<0 时，两端向下无限延伸，故有最大值，最大值为 \max\{f(m), f(n)\}；
- 当 a+b=0 时，两端无限延伸且平行于 x 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 \max\{f(m), f(n)\}，最小值为 \min\{f(m), f(n)\}。
更复杂的，f(x) = |x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x-a_n|（a_i \in \mathbb{R}, i, n \in \mathbb{N}^*, 设 a_1 < a_2 < \cdots < a_n）。
若 n=2k-1(k \in \mathbb{N}^*)，则 f(x) 的图像是以 (a_k, f(a_k)) 为顶点的“V 字形”图像。
当且仅当 x=a_k 时，[f(x)]_{\min} = |(a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1}) - (a_{k+1} + a_{k+2} + \cdots + a_{2k-1})|；
函数 f(x) 在 (-\infty, a_k] 上单调递减，在 [a_k, +\infty) 上单调递增，若 \{a_i\} 为等差数列，则图像关于 x=a_k 对称。
若 n=2k(k \in \mathbb{N}^*)，则 f(x) 的图像是以点 A(a_k, f(a_k)), B(a_{k+1}, f(a_{k+1})) 为折点的倒梯形。
当且仅当 x \in [a_k, a_{k+1}] 时，[f(x)]_{\min} = |(a_1+a_2+\cdots+a_k) - (a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{2k})|；
函数 f(x) 在 (-\infty, a_k] 上单调递减，在 [a_{k+1}, +\infty) 上单调递增，在 [a_k, a_{k+1}] 上无单调性。若 \{a_i\} 为等差数列，则函数图像关于 x=\dfrac{a_k+a_{k+1}}{2} 对称。
均值不等式
二元形式，若 a,b>0，则：
\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\sqrt[2]{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt[2]{\dfrac{a^2+b^2}{2}}
理解方式：https://www.bilibili.com/video/BV1Nf4y1G7xV/。
多元形式，若 a,b>0，则：
H_n\le G_n\le A_n\le Q_n\\
也就是
\frac{n}{\sum_{i=1}^n{1\over x_i}}\le\sqrt[n]{\textstyle\prod_{i=1}^nx_i}\le\frac{\sum_{i=1}^nx_i}{n}\le\sqrt[2]{\frac{\sum_{i=1}^nx_i^2}{n}}
当且仅当 x_1=x_2=\dots=x_n 时，等号成立。
即，对于正实数：调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数。
简记为：「调几算方」。
我们称两两为 X-Y 均值不等式，例如算数-几何均值不等式：
\sqrt[n]{x_2x_2\dots x_n}\le\dfrac1n(x_1+x_2+\dots+x_n)
可以进行推广，得到加权平均不等式：
x_1^{\lambda_1}x_2^{\lambda_2}\dots x_n^{\lambda_n}\le\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\dots+\lambda_nx_n
其中 x_1,x_2,\dots,x_n>0，\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n>0 且 \lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_n=1。
我们考虑证明一下 A_n\ge G_n，即：
\dfrac{a_1+a_2+\dots a_n}{n}\ge\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}
考虑构造
\exp\paren{\dfrac{nA_n}{G_n}-n}=\exp\paren{\dfrac{a_1+a_2+\dots+a_n}{G_n}-n}
注意到右边的指数可以拆解成 n 个
=\exp\paren{\dfrac{a_1}{G_n}-1}\exp\paren{\dfrac{a_2}{G_n}-1}\dots\exp\paren{\dfrac{a_n}{G_n}-1}
应用 \exp x=e^x\ge x+1 经典放缩，我们可以得到：
\ge\dfrac{a_1}{G_n}\cdot\dfrac{a_2}{G_n}\dots\dfrac{a_n}{G_n}=1
于是 A_n\ge G_n 就证明了。
这个命题，还可以用反向数学归纳法证明，核心思想例如
a+b+c+d\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{cd}\ge2\sqrt{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{cd}}=4\sqrt[4]{abcd}
于是我们可以直接推导 2^k 的不等式，然后考虑反向归纳，比较复杂，且与前面相比较为复杂，不再展开。
关于 ab（a,b\in\R）：
ab\le\dfrac14(a+b)^2\le\dfrac12(a^2+b^2)
关于 a^2+b^2（a,b\in\R）：
a^2+b^2\ge\dfrac12(a+b)^2\ge2ab
关于 a+b（a,b,\in\R_+）：
2\sqrt{ab}\le a+b\le\sqrt{2(a^2+b^2)}
关于 \sqrt a+\sqrt b（a,b,\in\R_+）：
\sqrt{a}+\sqrt b\le\sqrt{2(a+b)}
关于 \sqrt{ab}（a,b,\in\R_+）：
\dfrac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}\le\dfrac14(\sqrt a+\sqrt b)^2\le\dfrac12(a+b)\le\sqrt{\dfrac12(a^2+b^2)}
关于 \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}（a,b,\in\R_+）：
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac2{\sqrt{ab}}\ge\dfrac4{a+b}
关于 \dfrac1{\sqrt{a}}+\dfrac1{\sqrt{b}}（a,b,\in\R_+）：
\dfrac{1}{\sqrt a}+\dfrac{1}{\sqrt b}\ge\dfrac4{\sqrt a+\sqrt b}\ge\dfrac8{a+b}
积定和最小，和定积最小。
以上所有，都建议熟练掌握，考试时建议先写出来 a+b\ge2\sqrt{ab}，把 2 除过去，然后根据调几算方的口诀，写出不等式链，然后分别代入平方和根号，即可得到上面大部分不等式了。
若缩放所得上下界有未知数，则缩放失效。
与均值有关的定积分函数
高中老师可能讲过，均值不等式的本质是
f(x)=\sqrt[x]{\dfrac{a^x+b^x}{2}}
在 \R 上单调递增（其中 0 可去间断）。
我们这里参考 与均值有关的定积分函数 - lailai 一些与均值有关的定积分函数。
设：
f(t)=\frac{\int_a^b x^{t+1}\mathrm{d}x}{\int_a^b x^t\mathrm{d}x}
当 t\ne -1\land t\ne -2 时，可化简为：
f(t)=\frac{(t+1)(b^{t+2}-a^{t+2})}{(t+2)(b^{t+1}-a^{t+1})}
显然，函数 f(t) 单调不减。
该函数可以并推广均值不等式。
0<a\le b
a\le H(a,b)\le G(a,b)\le L(a,b)\le N(a,b)\le A(a,b)\le T(a,b)\le b
调和平均数：
H(a,b)=f(-3)=\frac{-2(b^{-1}-a^{-1})}{-1(b^{-2}-a^{-2})}=\frac{2ab}{a+b}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}
几何平均数：
G(a,b)=f(-1.5)=\frac{-0.5(b^{0.5}-a^{0.5})}{0.5(b^{-0.5}-a^{-0.5})}=\sqrt{ab}
对数平均数：
L(a,b)=f(-1)=\frac{\int_a^b x^0\mathrm{d}x}{\int_a^b x^{-1}\mathrm{d}x}=\frac{b-a}{\ln b-\ln a}
海伦平均数：
N(a,b)=f(-0.5)=\frac{0.5(b^{1.5}-a^{1.5})}{1.5(b^{0.5}-a^{0.5})}=\frac{a+\sqrt{ab}+b}{3}
算术平均数：
A(a,b)=f(0)=\frac{1(b^2-a^2)}{2(b^1-a^1)}=\frac{a+b}{2}
质心平均数：
T(a,b)=f(1)=\frac{2(b^3-a^3)}{3(b^2-a^2)}=\frac{2(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)}
做题方法
对勾函数
对于定义在 \R-\{0\} 的函数
f(x)=ax+\dfrac{b}{x}
设 x_0 满足
ax_0=\dfrac{b}{x_0}
即
x_0^2=\dfrac{b}{a}
不妨取正的一个解（同时 f(x)=f(y) 当且仅当 xy=\dfrac{b}{a}）。
容易知道，f(x) 在 (0,x_0] 单调递减，在 [x_0,+\infty) 单调递增。
在负半轴类似，同时因为在正半轴
f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ge2\sqrt{ab}
也就是说 f(x) 的值域是 (-\infty,-2\sqrt{ab})\cup(2\sqrt{ab},+\infty)。
基本规则
基本不等式的求最值一定要满足“一正、二定、三相等”，即先判定正负性，然后判断放缩后是否为定值，最后验证取等条件。
如果不是定值，通常会导致最值不在缩放的点上，我们可以复杂，对于缩放问题，就不需要是定值了。
例题：若实数 a,b 满足 \dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\sqrt{ab}，则 ab 的最小值为
我们知道
\sqrt{ab}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{2}{ab}}
因此
ab\ge2\sqrt2
当且仅当 b=2a 时取等。
利用基本不等式求函数 f(x) 的最大值通常有三种途径：
直接利用均值不等式放缩成 f(x) \le k，其中 k 为常数，最后检查等号能否成立；
直接利用均值不等式放缩成 f(x) \le g(x)，然后通过解不等式获得 f(x) 的范围，最后检查等号能否成立。
多次利用均值不等式放缩成 f(x) \le g(x) \le k，其中 k 为常数，最后检查所有等号成立的条件是否一致。
自由变量公式：
自由变量的个数等千变堂的个数减去方程的个数。
使用基本不等式的次数等于自由变霆的个数。
凑系数、换元法是最基础的方法，除此之外，我们还有妙用：
若已知 ax+by 为定值，求它们的倒数和 \dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y} 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用“1”的代换，但是我们推荐使用“1”的代换；
若已知 \dfrac{c}{x} + \dfrac{d}{y} 为定值，求和 ax+by 的最小值，既可以用消元的方法，也可以利用“1”的代换，但是我们推荐使用“1”的代换；
若已知 axy+bx+cy+d=0，求和 ex+fy 的最小值，如果分解因式很显然，使用“1”的代换；否则，使用消元法。
具体的，例如已知 ax+by=C，则
\begin{aligned} \dfrac{c}{x}+\dfrac{d}{y}&=\dfrac{1}{C}(ax+by)\paren{\dfrac{c}{x}+\dfrac{d}{y}}\\ &=\dfrac{1}{C}\left(ac+bd+ad\dfrac{x}{y}+bc\dfrac{y}{x}\right)\\ &\ge\dfrac{1}{C}\left(ac+bd+2\sqrt{ad\cdot bc}\right)\\ &=\dfrac{1}{C}\left(\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\right)^2\\ \end{aligned}
当 x,y>0 时，等号当且仅当 ad\dfrac{x}{y}=bc\dfrac{y}{x} 即 \dfrac{x}{y}=\sqrt{\dfrac{bc}{ad}}。
最常见的方法是分母不变，其他拼凑
x+\dfrac{3}{x-2}=x-2+\dfrac{3}{x-2}+2\ge\dots
x+\dfrac{3}{2x-3}=x-\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{2x-3}+\dfrac{3}{2}\ge\dots
如果分子的次数比分母高，通常把上面的先分下来，称为分离常数。
对于积的不等式，通常用调整常数
x(1-3x)=3x(1-3x)\cdot\dfrac13
形如 ab=a+b 的，通常转化为
1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}
加权待定
我们知道了 f(x)=\ln x 与 g(x)=\dfrac{2(x-1)}{x+1} 和 h(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right) 的关系，那么不妨讨论 f(x) 与
\varphi(x)=\lambda g(x)+(1-\lambda)h(x)
的关系，对 y=\ln x-\varphi(x) 求导即可，此处略。
我们知道高中常见的均值不等式链：
\dfrac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}<\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}<\dfrac{a^2+b^2}{a+b}
此处不写等号因为对数平均数部分没有办法取等。
另外还有
\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2ab}{a+b}
\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{ab}
\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{2}{3}\cdot\sqrt{ab}
等形式，都可以用加权待定来理解。
在 x\in(1,+\infty)，
\small\frac{x-1}{x}<\frac{2(x-1)}{x+1}<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\ln x<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<x-1
在 x\in(0,1)，
\small\frac{x-1}{x}<\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}<\ln x<\frac{3(x^2-1)}{x^2+4x+1}<\frac{2(x-1)}{x+1}<x-1
简单例题
例题
若 x_i > 0，且 \sum_{i=1}^{n} x_i = 1，则
\left(x_1 + \dfrac{1}{x_1}\right)\left(x_2 + \dfrac{1}{x_2}\right)\cdots\left(x_n + \dfrac{1}{x_n}\right) \ge \left(n + \dfrac{1}{n}\right)^n
当且仅当 x_i = \dfrac{1}{n} 时等号成立；
如果 \sum_{i=1}^{n} x_i \ne 1，则上述结论不成立，为了简化，我们只给出两个变量的情形：
已知 a > 0，b > 0，且 a+b=k，则 \left(a+\dfrac{1}{a}\right)\left(b+\dfrac{1}{b}\right) 的最小值为
\begin{cases} \left(\dfrac{k}{2} + \dfrac{2}{k}\right)^2, & 0 < k \le 2\sqrt{2+\sqrt{5}} \\ 2\sqrt{1+k^2}-2, & k > 2\sqrt{2+\sqrt{5}} \end{cases}
例题
已知 a,b>0 且 ab=a+b+3，则 ab,a+b 的最小值分别为？
方法一：由 ab=a+b+3，得到 a=\dfrac{b+3}{b-1}，带入消元即可。
方法二：ab=a+b+3\ge2\sqrt{ab}+3，解得 \sqrt{ab}\ge3 即 ab\ge9。
方法三：由 ab-a-b+1=4 得 4=(a-1)(b-1)\le\dfrac14(a+b-2)^2，则 a+b\ge6。
例题
已知 x,y>0 且 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值为？
方法一：我们知道 y=\dfrac{x}{5x-3}，带入消元即可。
方法二：由 5xy-x-3y+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}，得到 (5x-3)(5y-1)=3，因此
\dfrac{144}{25}=\paren{3x-\dfrac{9}{5}}\paren{4x-\dfrac{4}{5}}\le\paren{3x+4y-\dfrac{13}{5}}^2
方法三：我们知道 \dfrac{1}{y}+\dfrac3x=5，因此
\begin{aligned} 3x+4y&=\dfrac15(3x+4y)\paren{\dfrac3x+\dfrac1y}\\ &=\dfrac15\paren{13+12\dfrac yx+3\dfrac xy}\ge5 \end{aligned}
例题
已知 a,b>0 且 2a+b=1，则 \dfrac1a+\dfrac ab 的最小值为？
\dfrac1a+\dfrac ab=\dfrac{2a+b}a+\dfrac{a}{b}=2+\dfrac ab+\dfrac ba\ge4
例题
已知 0<x<1，则 \dfrac9x+\dfrac{16}{1-x} 的最小值为？
\begin{aligned} \dfrac9x+\dfrac{16}{1-x}&=\paren{\dfrac9x+\dfrac{16}{1-x}}[(x)+(1-x)]\\ &=25+9\dfrac{1-x}x+16\dfrac x{1-x}\ge49 \end{aligned}
例题
已知 a,b>0 且 (a+3b)(2a+b)=6，则 8a+9b 的最小值为？
注意到形式较为复杂，不妨设 \lambda,\mu 化简
\lambda(a+3b)\cdot\mu(2a+b)=6\lambda\mu
且使得
\begin{cases} \lambda+2\mu&=8\\ 3\lambda+\mu&=9 \end{cases}
解得 \lambda=2,\mu=3，因此
36=(2a+6b)(6a+3b)\le\dfrac14(8a+9b)^2
拼凑构造
拼凑构造，虽然有些题是对脑电波，或者暴力待定系数，但是在中档题里面是有一定规律的，例如将代数式中一项或几项拆开，齐次化构造，分离常数，并项（通分），或者配凑系数，甚至是配凑某些项。
例题一
已知 a,b>0，求 \dfrac{a^2+4}{2a}+\dfrac{2b^2+b+2}{2b+1} 的最小值。
第一反应应该是将前面的除下去，然后将后面的 2b+1 视为一个整体，分离常数，这是显然的，设原式为 S，则 S=\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2b+1}{2}+\dfrac{2}{2b+1}-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{7}{2}。
验证取等条件是必不可少的，容易发现 a=2b+1=2 是显然可以取到的。
例题二
已知 a,b>0 且 ab=1，求 \dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{8}{a+b} 的最小值。
容易发现，第三项 a+b 在分母上，不好化简，考虑可以将前面的也化为和 a+b 有关的式子，容易发现直接通分，代入 ab=1 即可。
具体步骤很简单，我们关注这道题告诉我们 ab=1 这种限制条件给我们带来了什么。第一就是在计算中用已知量去简化式子、化简运算，比如 ab^+a^2b=ab(a+b)=ab。第二就是最后取等条件的验证过程中，作为一种限制。
不妨用自由度的角度分析，我们发现，两个变量（这里是 a,b 比如），两次放缩，两个取等要求，是可以接受的。但是当多了一个初始限制的时候，往往用一次放缩（除非取等条件比较松）。
还有一类经典的配凑系数，比如把 ab 写成 \dfrac{1}{4}\cdot a\cdot 4b，然后将 a,4b 用基本不等式，这个的意义在于，乘法可以把单个系数提出来，但是加法不能，放缩时，可以用这种技巧把系数放进加法中。与此相对应的，还可以配凑加减，这都是很常见的，比如 a+b=(a+1)+b-1，可以把加减偏移量放进乘法中，很好用。
还有比如我们初中物理就接触过的，把分子的 x 除下去，在分母上用不等式放缩。
我们上面提到的就是所谓拼凑的技巧，还是相当常用的。我们在此与 1 的代换做一个联系。我们在前面，包括做题过程中，发现一些次数上的特征，比如 x 和 \dfrac{1}{x} 一起出现，往往会把后者乘到前者，然后构造齐次化，进行一次放缩。
例如若正数 x,y 满足 x+y=4，求 \dfrac{x^2}{x+1}+\dfrac{y^2}{y+2} 的最值。就可以写作 (x+1)+(y+2)=7，乘过去，然后放缩即可。
再次强调，取等条件的重要性。直接使用不等式必须判断取等，如果取不了等，可以考虑用对钩函数的性质（大题可以直接求导）。